【統計】正規分布の期待値・分散・積率母関数の導出や性質まとめ

正規分布
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正規分布は連続型の確率分布です.正規分布のことをガウス分布ということもあります.

正規分布

グラフ

横軸を確率変数,縦軸を確率密度関数とします.標準正規分布のグラフは以下のようになります.

 

確率密度関数(probability density function)

平均\mu,分散\sigma ^2の正規分布に従う確率変数Xの確率密度関数f(x)は,

と表せます.

 

 

確率密度関数を用いた期待値の導出

上の確率密度関数f(x)から期待値を導出します.

ここで,y=\frac{x-\mu}{\sigma}とすると,

より,

よって,期待値は,

となります.

 

 

確率密度関数を用いた分散の導出

上の確率密度関数f(x)から分散を導出します.

ここで,z=\frac{x-\mu}{\sigma}とすると,

より,

よって,分散は,

となります.

 

 

標準偏差

標準偏差は,分散の平方根を取ることで得られる.

 

 

積率母関数(モーメント母関数)

上の確率密度関数f(x)から積率母関数を導出します.

 

 

積率母関数を用いた期待値の導出

上の積率母関数M_X(\theta )から期待値を導出します.

 

 

積率母関数を用いた分散の導出

上の積率母関数M_X(\theta )から分散を導出します.

よって,

 

 

 

標準正規分布

平均0,分散1の正規分布を標準正規分布という.
また,確率変数Xが正規分布N(\mu , \sigma ^2)に従うとき,次のようなXの線形変換

は標準正規分布N(0,1)に従い,このように平均を0,分散が1となるように変換する操作のことを標準化(standardization)という.
標準正規分布に従う確率変数Zの確率密度関数f(z)は,

となる.

標準正規分布は,累積分布関数

が数値表として与えられています.

 

 

カイ二乗分布との関係

確率分布Z_1,Z_2,\cdots ,Z_nが互いに独立に標準正規分布に従うとき,

とすると,確率変数Xが従う確率分布を自由度nのカイ二乗分布といいます.

また,自由度nのカイ二乗分布を\chi ^2 _{(n)}と表します.

→証明はこちら

 

T分布との関係

確率変数Xが標準正規分布N(0,1)に従い,確率変数Yが自由度nのカイ二乗分布に従い,互いに独立のとき,

とすると,確率変数TはT分布に従います.

→証明はこちら

 

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