【統計】標準正規分布とカイ二乗分布からT分布を導出(証明あり)

T分布
スポンサーリンク

標準正規分布とカイ二乗分布からT分布を導出します.T分布は自由度が大きくなればなるほど標準正規分布に近づいていきます.

 

確率変数Xが標準正規分布N(0,1)に従い,確率変数Yが自由度nのカイ二乗分布に従い,互いに独立のとき,

とすると,確率変数TはT分布に従います.

 

証明)

以下のような(X,Y) \longrightarrow (T,Y)への変換を考えます.

ヤコビアンを求めると,

となります.ここで,確率変数Xの確率密度関数をf_X(x),確率変数Yf_Y(y)とすると,それぞれ

となります.確率変数Xと確率変数Yは互いに独立なので,

ここで,\left( \frac{t^2}{n} + 1 \right) \frac{y}{2} = zへの変換を考えると,

となります.

以下のように,f(t,u)を積分してTの周辺確率密度関数を計算すると,これが確率変数Tの従う確率密度関数となります。

これは,自由度nのT分布の確率密度関数です.

よって,標準正規分布とカイ二乗分布からT分布を導出できました.

 

 

 

 

コメント

タイトルとURLをコピーしました