【統計】標準正規分布に従う変数の二乗和はカイ二乗分布に従うことの証明

カイ二乗分布
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今回は,標準正規分布に従う変数の二乗和はカイ二乗分布に従う」ことを証明したいと思います.

 

確率分布Z_1,Z_2,\cdots ,Z_nが互いに独立に標準正規分布に従うとき,

とすると,確率変数Xが従う確率分布を自由度nのカイ二乗分布といい,自由度nのカイ二乗分布を\chi ^2 _{(n)}と表します.

 

証明)

まずは,n=1の場合を考えます.確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき,Z^2が自由度nのカイ二乗分布に従うことを示します.

標準正規分布の確率密度関数は,

です.ここで,

と変数変換すると,

となるので,Yの従う確率密度関数は,

これは,自由度1のカイ二乗分布の確率密度関数です.

 

次に,任意の自由度の場合を考えます.

Y=Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_{n-1}^2とし,確率変数Yが自由度n-1のカイ二乗分布に従い,確率変数Z_n^2が自由度1のカイ二乗分布に従うとき,X=Y+Z_n^2とすると,確率変数Xが自由度nのカイ二乗分布に従うことを帰納法を用いて証明します.

確率変数Xの従う確率密度関数は,

ここで,u=\frac{t}{x}と変数変換すると,

となるので,

これは,自由度nのカイ二乗分布の確率密度関数である.

よって,標準正規分布に従う変数の二乗和はカイ二乗分布に従うことが証明できました.

 

 

 

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